Emprunt bancaire : problèmes et solutions

Dans cette partie du blog, vous allez vous familiariser avec l'utilisation des formules mathématiques à la résolution de problèmes pratiques liés à la finance.

J'apprécierai tout problème ou question postée dans les commentaires, je m'efforcerai de lui apporter une bonne réponse. Alors n'hésitez pas.

3. Je veux emprunter 20 000 Euro à rembourser sur 5 ans pour financer un projet d'investissement. Pour cela, j'ai reçu deux offres de deux banques différentes :

• Banque A : 1% (taux mensuel), remboursements mensuels
  
• Banque B : 3% par trimestre (taux trimestriel)

Quelle proposition faut-t-il choisir ?

Il faut noter qu'il n'y a pas qu'une solution possible pour des problèmes à résoudre au moyen des mathématiques financières.

Première solution :

On peut comparer les taux des deux banques. Mais attention, il faut comparer des choses comparables. Dans ce cas, les taux sont pour des périodes différentes. Pour cela, il faut calculer le taux équivalent de l'un par rapport à l'autre. C'est à dire, comparer, par exemple, au taux mensuel de 1%, le taux mensuel équivalent (à trouver) au taux de 3% (trimestriel)

Pour facilité la formulation du problème, on se demande, quelle est le taux d'intérêt mensuel i (inconnu) qui donnerais le même résultat que le taux trimestriel de 3% pour le placement d'un montant identique M pendant 3 mois (1 trimestre).

• Le placement d'un montant M au taux mensuel i pendant 3 mois : Mx(1+i)⁴

• Le placement d'un montant M au taux trimestriel de 3% pendant 1 trimestre : Mx(1+3%)

Donc pour supposer l'équivalence entre les deux résultats on a : Mx(1+i)⁴ = Mx(1+3%) c'est à dire que i = (1+3%)^1/4 - 1 = 0,74% c'est ce taux mensuel équivalent au taux trimestriel de 3% qu'il faut comparer avec le Taux mensuel de 1% proposé par la banque A.

Donc vous voyez bien que la proposition de la banque B (0,74% mensuel) est moins coûteuse donc meilleure que celle de A (1% mensuel).

Deuxième solution :

On pourrait résoudre ce problème de la même façon mais en comparant, cette fois ci, le taux trimestriel de 3% avec le taux trimestriel équivalent au taux mensuel de 1%.

Le placement d'un montant M au taux de 1% mensuel pendant 3 mois : Mx(1+1%)⁴

Le placement du même montant M au taux t trimestriel pendant un trimestre (4mois) : Mx(1+t)

L'équivalence entre les deux taux d'intérêt donnerait le même résultat : Mx(1+1%)⁴ = Mx(1+t)

C'est à dire t = (1+1%)⁴ - 1 = 4,06 %

Donc vous voyez que vous arrivez au même résultat. Que vous utilisez la première solution ou la deuxième la proposition de la banque B reste la meilleure.

Troisième solution :

On pourrait résoudre ce problème en comparant tout simplement le montant d'intérêt de chacune des propositions et choisir la solution qui donnerait moins d'intérêts à payer. Pour cela, on calcule la capitalisation de 20 000 Euro pendant 5 ans pour les deux propositions.

• Offre de la banque A :

La banque A nous propose des mensualités à 1% pendant 5 ans c'est à dire pendant 5x12= 60 mois

20 000(1+0,01)⁶⁰= 36 333,9 Euro. Ce qui donne un montant d'intérêt de 16 333,9 Euro (36 333,9-20 000)

• Offre de la banque B :

20 000(1+0,03)^3x5 = 31 159,3 Euro. C'est à dire un montant d'intérêt de 11 159,3 Euro

L'offre de la banque B donnerait moins d'intérêt à payer que l'offre de la banque A donc on préfère toujours un taux d'intérêt trimestriel de 3% qu'un taux mensuel de 1%.

4. Un couple vient d'avoir un bébé et ils se demandent comment ils peuvent lui offrir une meilleure éducation universitaire dans 18 ans plus tard. Pour cela il veulent savoir combien il faut placer annuellement, dès aujourd'hui, jusqu'à la 17^ème anniversaire de leur fils pour avoir en retour, au bout de l'age de 18 ans et pendant quatre ans, quatre annuités de 20 000 Euro qui vont servir au financement de ses études universitaires.

La banque propose un TAEG de 10%.

Pour résoudre un tel problème, on peut toujours procéder de différentes façons et arriver nécessairement au même résultat. L'essentiel dans toutes ses solutions consiste à chercher un inconnu (le montant à placer annuellement dans cet exercice) en comparant des montants ramenés à une date précise dans le temps (toute comparaison en finance doit se faire à une même date en y capitalisant et actualisant des sommes dispersées dans le temps).

En regardant le schéma, la question à poser est de dire que les différents montants à placer doivent être équivalents, financièrement parlant, aux mêmes montants que je vais recevoir de la banque dans 18 ans pendant 4 ans. Cette question nous donne bien l'équation à formuler pour trouver l'inconnu a mais il reste à choisir une date de comparaison (on peut choisir n'importe quelle date, la solution sera la même).

Je vais choisir spontanément la date 0. Donc, on actualise les différents placements a à la date 0 pour obtenir une valeur actuelle des différents placements qui doit égaliser la valeur actuelle à la date 0 des différents montants à recevoir à partir de l'age de 18 ans.


D'où on a 9,20 a = 12 542,82 ==> a = 1 363,4 Euro, c'est à dire approximativement une moyenne de 114 Euro mensuellement.

5. L'utilisation de rachat ou regroupement de crédit dans la situation ou on est confronté à une série de mensualités de différents emprunts contractés pour financer des projets différents, est la meilleurs solution proposée par les banques jusqu'à présent. Pour en savoir plus cliquez sur la notion de rachat de crédit. Accédez aux liens ci-avant pour des exemples pratiques.

A suivre ...

Réaction aux commentaires :

Merci Laetitia pour votre commentaire. Effectivement j'ai eu une confusion en pensant au nombre de trimestres dans l'année au lieu du nombre de mois dans le trimestre.

Pour info utile :

Un semestre est une période de 6 mois [Le mot semestre vient du latin sex(six) et mentis(mois)] source : Wiktionnaire


Un quadrimestre est une période de 4 mois, une année se compose donc de 3 quadrimestres. Un trimestre est un espace de trois mois, il Y en a 4 sur l'année.