L'importance des mathématiques financières

Quelques mots à propos des mathématiques financières pour commencer.

Sans aucun doute, tout le monde fait recours aux mathématiques pour faire des calculs de base dans la vie de tout les jours, que ce soit avec conscience ou pas. Pour un financier, cet outil est très précieuse est indispensable pour une bonne gestion des flux de l'argent.

L'un des intérêts des mathématiques dans la finance consiste à simplifier la complexité des calculs et problèmes financiers. Prenons un petit exemple pour en comprendre le sens :

Monsieur Y met 50000 Euro en banque au taux de 6%. On veut savoir combien il va avoir en banque la première année, la deuxième année, la troisième année,...

En procédant par des calculs spontanés :

• Première année : Il va avoir les 50000 Euro plus les intérêts. Pour calculer les intérêts on multiplie le pourcentage d'intérêt 6% (c'est à dire 0,O6) par le montant déposé à la banque 50000 Euro, ce qui va faire : 50 000x0,06=3000 Euro. Donc en total, il va avoir à la fin de la première année : 50000 + 6%x50000 = 53000 Euro

• Deuxième année : Il va avoir les 53000 plus les intérêts calculés sur les 53000, c'est à dire : 53000 + 6%x53000 = 56180 Euro

• La troisième année : 56180 + 6%x56180 = 59550,8 Euro

Donc vous voyez que c'est très fatiguant de faire ces calculs, surtout si on veux savoir combien monsieur Y va avoir au bout de 10 ans ou 20 ans par exemple. Et bien c'est là que les mathématiques financière vont intervenir pour simplifier tout calcul de ce genre.

On pourrait bien avoir une formule mathématique qui nous permet de calculer en une fois et à n'importe quelle date le montant du capital plus les intérêts générés.

Notant, en général, C0 est le montant du capital déposé à la date 0 (aujourd'hui) donc Cn et le montant du capital disponible à la banque au bout de la n^ième année et notons aussi i = le taux d'intérêt.

• La première année on a : C1 = C0 + C0xi = C0(1+i)

• La deuxième année on a : C2 = C1 + C1xi = C1(1+i)=C0(1+i)(1+i)=C0(1+i)²

....

• Par déduction, la n^ième année on a : Cn=C0(1+i)ⁿ

Donc il suffit de remplacer, dans cette dernière formule, n par le nombre d'années. Par exemple, au bout de la 20^ième année, Monsieur Y va avoir en banque 50000(1+6%)²⁰=160356,77 Euro.

Ce cas parait plus ou moins simple puisque on peut bien arriver à calculer, avec un peu de patience, ce que monsieur Y toucherait à la fin de la 20^ième année. Mais si on se pose une question du type : comment peut on calculer, par exemple, la date à laquelle monsieur Y atteint 100000 Euro. mentalement, c'est impossible de faire le calcul, mais mathématiquement parlant, c'est très simple. Il suffit de résoudre l'équation Cn=C0(1+i)ⁿ à un seul inconnu n qui représente le nombre d'années écoulées sur le capital déposé à la banque. Ici on se demande à quelle date Cn=100000 donc en remplaçant dans la formule (Cn=C0(1+i)ⁿ) i par 6%, Cn par 100000 et C0 par 50000 on aurait :

100000=50000(1+0,06)ⁿ

==> 1,06ⁿ=100000/50000

==> 1,06ⁿ=2 Pour déterminer la valeur de n, il faut se servir d'une fonction qui s'appelle logarithme du signe "ln" (car l'une des caractéristiques de cette fonction et que lnXⁿ=n.lnX)

==> ln1,06ⁿ=ln2

==> nxln1,06=ln2

==> n=ln2/ln1,06= 11.895660996576

C'est à dire que monsieur Y va avoir 100000 Euro en banque dans 11 ans, 0.895660996576x12m=10 mois et 0.747931958912x30j=22 Jours

Pour vérifier la réponse, il suffit de remplacer n par 11.895660996576 dans la formule 50000(1+0,06)ⁿ et voir si ça donne bien 100000 Euro.

Ce n'est qu'un simple exemple pour vous montrer à quel points est important de se servir des formules mathématiques pour résoudre des problèmes pratiques.

Dans ce blog, je mettrais plus l'accent sur les calculs d'emprunt bancaire avec des explications et exemples pratiques.